两个向量a,b内积界说式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ。为便利说明起见，咱们用二维向量来解释一下，两个向量a(a₁,a₂)和b(b₁,b₂)内积时，有a·b=a₁b₁+a₂b₂。假如a,b是正交(笔直)的，成果会怎么？这猛一看，还真不好说，但若把条件特定一下，比方说a在x(i基)轴上，b在y轴(j基)上，二者笔直，则显然有a₂=b₁=0，成果有a·b=a₁·0+0·b₂=0。

  你会问，那若不是这个特别方位的，a,b不各自与x,y轴重合，而是偏转了一个视点呢？假定这个方面是β(a与x轴的视点)，那会怎么？还能有a·b=0么？

  咱们依据三角函数公式知道，sin(β+90°)=cosβ，cos(β+90°)=-sinβ，成果有a·b=ab(-cosβsinβ+sinβcosβ)=0。这说明，只需a与b笔直，则不管a,b相对x,y轴偏转到怎样的视点β，它们的内积都与a,b各自与x,y轴重合相同，成果为零。a,b彼此笔直时，它们的内积为零是必定的。

  那么，假如a,b之间的夹角不为零时，比方为θ，内积的成果会是啥？这你必定知道，便是：a·b=abcosθ。

  其实许多人的疑问是：两个向量的重量(坐标值)的乘积和怎么会正好两个向量模长的乘绩与它们夹角的余弦的乘积呢？你按上面的三角函数公式，把90°换成θ，成果就出来了。并且最终只是与θ有关，仍是没β啥事。

  从后一公式能看出内积的几许意义，便是一个向量a的模长在另一个向量b上的投影长度acosθ与该向量模长b的乘积，θ是a,b夹角。假如你认这个原理式，你就秒理解，若二者笔直了，投影就为零了，内积当然为零啦。

  你要问的是怎么回事彼此笔直的两个向量内积为零吧？首要你要理解内积核算的意义，只需要证明向量内积核算的是一个向量乘以另一个向量在该向量上的正交投影即可。因而也便是把另一个向量作分化，之后只要平行部分有效果，所以彼此笔直的两个向量运算成果天然为零。首要简单证明该投影运算满意乘法分配律（这一点经过画图直接就能证明，不需要推导），已然满意乘法分配律，那就能将向量作分化，即在正交坐标系分化为三个坐标轴方向，由于坐标轴彼此笔直，所以该投影运算便是各个重量对应相乘之后再求和，这样便证明了内积运算核算的是一个向量乘以另一个向量在该向量上的投影。这是内积运算，外积也是如此。内积实际上便是余弦公式，外积实际上便是正弦公式，即向量在空间张成的平行几许体的体积，即矩阵的行列式。

  实际上许多场合下笔直便是之接用内积为零来界说的，不过用几许的办法界说然后再算笔直也能够。

  关于彼此笔直的两个向量，每一个向量对另一个的投影都为零，因而他们的内积为零。