平面向量数量积是新课程中平面向量的重要内容，是高中数学三角函数、平面几何、解析几何等章节常识的交汇点，因而遭到高考出题者的喜爱.但这也成为许多学生眼里的常识难点，尤其在办法的挑选上存在着很大的盲目性.下面就最近几年各地高考或模仿试卷上呈现的标题做扼要的归类，期望能给广阔考生供给参阅.

  所谓界说法，望文生义是使用平面向量数量积的界说·=··cosθ（其间与之间的夹角）直接进行运算.

  例1：（2005湖南）已知直线相交于A、B两点，且AB=，则·？摇？摇？摇？摇.

  解析：易知和的模即为圆的半径1，而依据直线与圆相交的性质，可以获得两向量之间的夹角为120°，因而·=1×1×cos120°=-.

  例2：（2004浙江）已知平面上三点A、B、C满意=3，=4，=5，则·+·+·的值等于？摇？摇？摇？摇.

  终究，三者相加为-25.需求提示学生的是本题中各个向量之间的夹角，必定要平移到“共起点”再运算.

  小结：用界说来核算平面向量的数量积，思维较为单一，方针十分清晰，该类标题的关键是要清晰两个向量各自的模跟两者夹角的巨细.可是，参照近几年全国各地的高考试题，许多考察数量积的标题，其触及的模和夹角并不明亮.因而，处理平面向量数量积的另一个重要手法便呼之欲出.

  所谓分化转化法，即在详细问题中，依据原有图形对所求问题中触及的向量进行分化，化为用一组基底表明的向量处理.如果能合理地挑选基底，该办法便能大幅度削减运算量，到达事半功倍之作用.

  可是，笔者在日常的教育过程中发现许多学生对分化转化较为陌生，尤其在基底的挑选上存在着很大的困惑.下面就近几年来各地模考卷及高考试题中呈现的数量积问题作扼要剖析.

  例3：在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则·=？摇？摇？摇 ？摇.

  解析：本题中无论是仍是的模都不清楚，两者的夹角也不清晰，因而用界说法显然是不适宜的.可是依据向量加法的界说，可以获得=+=+，=+，这样，所求数量积中触及的两个向量都与已知条件中的AB和AD产生了联络，问题天然就能轻松处理：·=--·=1-2-×1×2×cos50°=-.

  例4：如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D别离在线段OA，OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，则·的取值规模是？摇？摇 ？摇？摇.

  解析：本题中已知的量是半径MO，因而尽可能把所求的和向挨近.依据向量加法，易得到·=（+）（+）=+·+·+·，设OC=x，则OD=1-x，·=1+（1-x）cos120°+xcos120°+x（1-x）cos120°=x-x+，由x∈[0，1]得·的取值规模为[，].

  例5：（2008年苏州市一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B别离是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线）求椭圆C的规范方程；

  （2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满意EPEQ，求·的取值规模.

  （2）因为P，Q两点都是动点，很显然无法经过界说直接表明·.这时要捉住EPEQ这一中心条件，将向量转化成跟与有关的成果，即·=（+）=，然后将所求的量转化成两点之间的间隔的运算.设P（x，y），则=（x-3）+y，由y=9-x得·=x-6x+18=（x-4）+6，因为-6≤x≤6，因而·的取值规模为[6，81].

  例6：（2012年上海高考）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长别离为2、1.若M、N别离是边BC、CD上的点，且满意=，则·的取值规模是？摇？摇 ？摇？摇.

  解析：本题中与已知条件有关的向量是和，因而就找到了、的化简方向.记==λ（0≤λ≤1），则 =λ，=（1-λ）.结合向量的加法得到·=（+）（+）=（+λ）[+（1-λ）]=（1-λ）+λ+[1+λ（1-λ）]·.再由向量数量积的界说得到·=1，经收拾，·=λ-2λ+5（0≤λ≤1），所以当λ别离等于0和1时，·获得最大值5和最小值2.

  小结：该办法的本质便是化归思维的表现.依据上述几例清楚明了，基底的挑选往往与标题中的已知条件有着亲近的联络.因而处理该类问题时，可以精确的经过向量加法及数乘等常识，将所求数量积中的向量跟已知量（通常是某些图形的边长）联络起来，再经过一系列打开化简，问题便能方便的处理.

  解析法是根据向量的坐标表明、经过树立适宜的直角坐标系来求数量积的办法.因为该办法不必太多转化，因而许多学生在处理平面向量数量积的时分比较倾向于这一办法.

  例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M、N别离是AB、BC的中点，点P是ABC（包含鸿沟）内任一点，求·的规模.

  解析：尽管易求得=，但、与的夹角不易求得，因为ABC是等腰直角三角形，故可树立平面直角坐标系，将点A，B，C，M，N用坐标表明即可.

  详细如下：以C为坐标原点，CA地点的直线为x轴，CB地点直线为y轴，树立如图所示的坐标系，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），M（，），N（0，）.

  例8：（2012年江苏高考）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·的值是，则·的值是？摇？摇 ？摇？摇.

  解析：本题中矩形布景为树立直角坐标系供给了便当条件，详细如下：别离以AB、AD在直线）.设F（x，2），其间0≤x≤，则·=（，0）·（x，0）=x=，解得x=1，则·=（，1）·（1-，2）=（1-）+2=.

  小结：坐标法表现了数与形的彼此转化和亲近结合的思维，在处理向量问题的时分存在广泛的使用，但此类办法也有必定的局限性，切当地说只适合于图形布景较简单树立直角坐标系（如直角三角形、等腰三角形、圆、扇形等）的标题.不然，不仅仅会带来核算上的费事，乃至可能会走进运算的死胡同.这一点应引起广阔考生的注重.

  当然，考生在使用上述办法解题时，应注意到各办法之间的联络互通，而不应将各个办法孤立起来.比如例4，也可以终究靠树立直角坐标系后选用坐标法来处理，而2012年江苏高考题的第7题，相同也可以尽可能的避免建系而改用界说结合三角函数的常识求解.因而，也只要学生认识到各个办法适用的题型，才能对该类问题了然于心，然后挑选最适宜的办法获解.